毕业论文

目  录

中文摘要…………………………………………………………………………2

ABSTRACT……………………………………………………………………2

一．引言………………………………………………………………………………2

二．利用特殊点的唯一性来证明线共点问题……………………………………2

三.利用线段中点的唯一性证明线共点问题………………………………………3

四．利用西瓦定理证明线共点问题…………………………………………………3

五．利用内接六边形的对角线共点证明线共点问题………………………………4

六．用解析法证明线共点问题………………………………………………………4

七.证三点共线而证三线共点………………………………………………………5

结束语…………………………………………………………………………5

参考文献……………………………………………………………………6

浅谈中学线共点问题

XXXXX

摘要：本文讲述多种证明线共点的方法，并结合例题分析了这几种证明方法在实际问题中的应用，以便提供人们证明线共点的思路和方法。

关键词：线共点；证明；中学；问题

Discussion on the Problem of Collinear Points in Middle School

Wang Rong

( 2010051363   )

(Department of Mathematics, Qiannan Normal College for Nationalities, Duyun 558000, Guizhou)

Abstract:This paper tells about several kinds of methods of proving collinear points and analyzes the application of these kinds of methods in practical problems so that they can provide some train of thoughts and methods of collinear points to people.

Key words: Collinear points; proof; middle school; problem

一．引言：

近几年，全国各级数学竞赛场出现有关“线共点方面的几何命题，这类问题往往是学生们的薄弱环节，同时也是教师在教学中容易忽视的一个重要内容，为此，本文将阐述证明线共点问题的主要思路，并提供几种证题方法

二．利用特殊点的唯一性来证明线共点问题。                               

其基本作法大体是：欲证n(n≥2)条直线交于一点，我们不妨在n条直线中任取一条直线。想办法证明这条直线通过某一特殊点；然后再证其他的n－1条直线也同过这个特殊点，从而达到证明n条直线共点的目的。

例1.梯形ABCD的两底DC:AB＝1:3延长两腰AD,BC得交点P。作n条线段            

(i＝1.2.….n).使得P是  的中点。取A 的中点 。B 中点 。试证n条直线  共点   

分析  设   交AC于Q点，研究Q点具有的性质                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

三点共线。作 K∥AC交直线  于K.显然。                   图 1                                            

△ AQ≌△  KAQ＝ K .

又△ CQ∽△  K.

∵ =  =  =  =  .

及∠QCD=∠QAB.

∴△QCD∽△QAB.

此时∠CQD=∠AQB,从而可知B,Q,D三点共线，即Q是AC与BD的交点。

这就是说直线  通过梯形ABCD两条对角线的交点。交点的唯一性决定了n条直线 … 必相交于一点。角线的交点，三角形各心等等。这里我们不一一给大家证明了。

    这                                

三.利用线段中点的唯一性证明线共点问题。

其基本思想是证明某点是线段1的中点，然后证明直线2通过这中点。然后再证明线段3通过线段1的中点，由于线段1中点的唯一性。则线段1,2,3，共点。

例2：如图2，凸六边形ABCDEF内接于圆，已知 = , = .

求证：AD.  BE.  CF三线共点\.

分析：设AD交BE于P,易知。

△ABP∽△EDP.    △BDP∽△AEP.

由已知  = ,得 = .

而 = .   .= .

故 = 。

 =BP•EP=AP•PD

AP=PD                                              图 2

因此。P为AD的中点，即BE通过AD的中点。             

同理可证，CF也通过AD的中点。由于AD的中点具有唯一性，故知AD, BE, CF相交于一点。

四．利用西瓦定理证明线共点问题。

塞瓦定理是平面几何中证明线共点问题的一个重要定理。利用它证明现行中学几何教材中有关线共点问题时。不仅使这类问题的证法得到统一，而且证明思路简捷，对拓宽学生的知识面，提高证题技巧都有一定的助。                                 准则：在△ABC中，设X,Y,Z依次在三边BC,CA,AB或其延长线上，则AX,BY和CZ共点的充要条件是 • • =1

例3：设△ABC内切圆与三边BC，CA，AB相切之点依次为D，E，F。如图

求证：AD，BE，CF共点。

证明：已知AB. AC. BC与圆相切为F, E, D.

得：AE=AF.  BF=BD.  CD=CE.

∴ • • =1

故.AD, BE, CF共线。

五．利用内接六边形的对角线共点证明线共点问题。

定理：内接六边形ABCDEF的对角线AD. BE. CF共点的充要条件是

 • • =1

例4.过⊙O外一点P.任作两条割线PAB.  PCD.分别交⊙O于A. B. C. D. PM. PN是⊙O的切线。M. N为切点，

求证：AD. BC. MN三线共点。                

证明：作如图连接线。则易知△PAM∽△PMB. △PCN∽△PND. △PBD∽△PCA. 从而 

 = .   = .   = .

三式相乘。并注意PM=PN.                                        得：   =PD•PC

则： • • =1.由定理知AD.BC.MN三线共点。        图 4  

六．用解析法证明线共点问题。

平面几何中共点线是一类重要的课题，这里我用解析法来讨论这一类问题。解析法虽然计算量不一定要，但比起综合法来还是比较容易理解的。解析法把平面上线共点问题转化为有关点的坐标的代数运算问题，能收到化难为易，变生为熟的效果。定理：三线 x+ y+ =0(i=1.2.3)共点的充要条件是

 =0

例5.证明三角形的三条中线共点、

已知：图5.△   .  （ ， ），（i=1,2,3）,   , ,  分别是边 ， ， 的中线。

求证： ， ， 相交于一点P.

证明：三角形各边中点的 的坐标为：   

【 〔 + 〕， （ + ）】。

三角形各边中线 的方程为：    = ，或 : x+ y+ =0             图  5

其中： = —2 ， = —（ ）， =（ ） —（ ） ，

易得： = + —2 =0   =— — +2 =0

 = （ ） — （ ） =（ ） +（ ） +（ ） —（ ） —（ ） —（ ） =0

因此，行列式 =0

以上行列式将第一，二行加到第三行的对应元素上，所得行列式第三行为0，由定理知，三中线 （i=1,2,3）共点，

即： ， ， 相交于一点P.

七.证三点共线而证三线共点。

当我们直接不能证明三线共点是，我们可以用转化的思维，证明三点共线，从而证明三线共点，

例6.已知直径为AB的半圆和半圆周上另外一点X，设ZA.YB和UX分别是此圆在A.B.X处的切线，设Y和Z分别为两对直线YB，AX和，ZA，BX的交点，如图6.

求证：三直线YZ, UX,AB共点. 

证明：设YZ和AB的交点为W ,UX与ZA和YB的交点分别为U,V,

则有：UX=UA,∠AXZ=90°U是AZ的中点，

同理：V是BY的中点。

则有U,V与W三点共线。

所以AB,YZ,UX三线交与W点。

                                               图  6                                 

八．结束语

这种方法主要用于证明多条线段共点的题型，这种题型比较复杂，不易用其他方法证明。利用线段中点的唯一性证明线共点，我们可以把这种方法进行拓展，把线段的中点拓展为垂足点，三等分点，四等分点等，有利于提高学生的变通能力。塞瓦定理是平面几何中证明线共点的一个重要定理，它的优点是思路简捷明快，有利于提高学生的证题技巧和证题能力，主要用于三角形内的线共点证明。利用多边形的对角线共点证明线共点问题，这种方法主要用于圆內和多边形内线共点的证明，此类题型用其他方法很难解答。但是有一定的局限性。分析法的特点是思路清晰，学生容易掌握。但是这种方法计算复杂，容易出错。证三点共线而证三线共点，这种方法有利于培养学生的逆向思维。

九：参考文献

[1] 梅向明、高等几何[M]、高等教育出版社2008

[2] 陈胜利、多边形中的共点线问题初探[J]、数学通讯1992。

[3]朱德祥、朱维宗、高等几何[M]北京：高等教育2009

[4]李长明、周焕山、初等数学研究[M]高等教育出版社1995。

[5]吕林根、许子道、解析几何[M]高等教育出版社2006.